Εις κάθε Έλληνα το γένος και την παιδείαν "Οἱ δὲ τῶν παίδων διδάσκαλοι ἀνοιγέτωσαν μὲν τὰ διδασκαλεῖα μὴ πρότερον ἡλίου ἀνιόντος, κλειέτωσαν δὲ πρὸ ἡλίου δύνοντος. καὶ μὴ ἐξέστω τοῖς ὑπὲρ τὴν τῶν -παίδων ἡλικίαν οὖσιν εἰσιέναι τῶν παίδων ἔνδον ὄντων, ἐὰν μὴ υἱὸς διδασκάλου ἢ ἀδελφὸς ἢ θυγατρὸς ἀνήρ· ἐὰν δέ τις παρὰ ταῦτ᾽ εἰσίῃ, θανάτῳ ζημιούσθω." Αισχίνης κατά Τιμάρχου παρ.12...- Έτος ιδρύσεως 2006

Ου πάντα τοις πάσι ρητά.

Πυθαγόρας, 580-490 π.Χ., Αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος

δεν μπορούν να ειπωθούν όλα σε όλους

Σάββατο, 21 Ιουλίου 2012

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ


(Απόσπασμα από σειρά άρθρων μου δημοσιευμένα στο περιοδικό "Ευκλείδης" της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.Τα άρθρα αυτά περιέχονται και στο φυλλάδιο "Τέχνη και Μαθηματικά" που διανέμεται από το μουσείο Ηρακλειδών στα σχολεία που το επισκέπτονται.)


Μια ιστορική περίοδος όπου τα Μαθηματικά με την Τέχνη είναι απόλυτα συνδεδεμένα είναι η περίοδος των Πυθαγορείων στην κάτω Ιταλία. (600 περίπου π.χ.)
Η κοινή αντίληψη για τους Πυθαγόρειους τους θεωρεί σημαντικούς και γνωστούς για το ομώνυμο Πυθαγόρειο θεώρημα. Κι όμως δεν είναι αυτή η μεγάλη συνεισφορά των Πυθαγορείων.
Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπαντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογιών. Μια από τις μεγάλες προσφορές στην ανθρωπότητα είναι η έννοια της μουσικής κλίμακας. Η μουσική, τα ωραία ακούσματα βασίζονται στη διαδοχή ήχων με συγκεκριμένο λόγο συχνοτήτων (μουσικά διαστήματα). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι συνηχούν αρμονικά δύο χορδές όταν έχουν λόγους μηκών αντίστοιχα 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. (Σήμερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική με την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz. Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση των αρμονικών τους συνιστωσών και αυτό γίνεται μόνο, όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος μικρών φυσικών αριθμών).
Η οκτάβα π.χ. («δια πασών» όπως λεγόταν τότε) είναι το μουσικό διάστημα που προκύπτει από το λόγο 2:1. Αν κρουσθεί δηλ. μια χορδή και ξανακρουσθεί η μισή χορδή αφού δεσμευθεί η υπόλοιπη, οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανομοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Το επόμενο διάστημα είναι το 3:2, κατόπιν το 4:3 και έπειτα το 9:8.
Πεπεισμένοι οι Πυθαγόρειοι, ότι τα πάντα στον κόσμο (= κόσμημα από το ρήμα κοσμώ) είναι αναλογίες φυσικών αριθμών προσπάθησαν να βρουν το λόγο της διαγωνίου δ προς την πλευρά α ενός τετραγώνου αλλά και το λόγο της πλευράς προς τη διαγώνιο ενός κανονικού πενταγώνου που μάλιστα το είχαν και έμβλημά τους. Δηλαδή προσπάθησαν να βρουν ένα τμήμα μ (κοινό μέτρο) ώστε δ = κ∙μ και α = λ∙μ (οπότε ο λόγος δ/α θα ήταν ίσος με κ/λ). Οι ιστορικοί μιλάνε για μια από τις μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών και ταυτόχρονα για την πρώτη μεγάλη κρίση στα θεμέλιά τους.
Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πρώτοι τη διαπίστωση ότι τα τμήματα δ και α είναι ασύμμετρα. Δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα κοινό μέτρο όσο και αν μικραίνει το μ και έτσι ο λόγος δ/α δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (λόγος) φυσικών. Είναι άρρητος λόγος. Οι Πυθαγόρειοι έτσι ήρθαν αντιμέτωποι με το άπειρο, την επ’ άπειρο χωρίς αποτέλεσμα ελάττωση του μ. (Με σημερινή ορολογία τα άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμία περιοδικότητα που προσεγγίζουν έναν άρρητο αριθμό). Κατασκεύασαν όμως ένα σύστημα «ανθυφαιρετικών γνωμόνων» με το οποίο διαπίστωσαν την περιοδικότητα του (με σημερινή ορολογία) συνεχούς κλάσματος που αναπαριστά το λόγο δ/α (τη σημερινή ρίζα 2 ), και επινόησαν τους πλευρικούς-διαμετρικούς αριθμούς.

(Με σημερινούς όρους δύο ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες στο ρίζα 2, η μια με έλλειψη και η άλλη με υπερβολή). Κατόρθωσαν έτσι να καθυποτάξουν αυτήν την απειρία και να φθάσουν στο θαυμαστό επίτευγμα να μπορούν να προσεγγίσουν οσονδήποτε το λόγο διαγώνιος/πλευρά ενός τετραγώνου .
Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του δεύτερου λόγου που αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτού της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής.

Της πιο αρμονικής διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα τμήματα. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα «Στοιχεία του Ευκλείδη». Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση, έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον έλεγαν θεία αναλογία (divina proportione) και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση (Luca Paccioli, Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835. Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως «number phi» ή «golden ratio».
Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο.
Υπάρχει μεγάλη συζήτηση για τον υπερτονισμό της αισθητικής αξίας της χρυσής τομής, αυτό όμως δεν μειώνει καθόλου την αξία της Πυθαγόρειας αναζήτησης για τις αναλογίες. Γιατί κατόπιν τη σκυτάλη πήραν οι Μαθηματικοί της Ακαδημίας του Πλάτωνος, ο Θεαίτητος και ο μεγάλος Εύδοξος. Ο Εύδοξος και αργότερα ο Αρχιμήδης έθεσαν τις βάσεις για το σύστημα των πραγματικών αριθμών στο οποίο σήμερα βασίζεται όλος ο απειροστικός λογισμός. Πιο συγκεκριμένα, ο Εύδοξος στον οποίο αποδίδεται ολόκληρο το 5ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη έδωσε μια επέκταση της έννοιας της αναλογίας, έναν ορισμό που ουσιαστικά ισοδυναμεί με τις τομές που εισήγαγε ο μαθηματικός Dedekind (1831–1916), ως ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών.
Αρκετές διδακτικές προτάσεις μπορούν να στηριχθούν σε αυτή τη συσχέτιση μουσικής και μαθηματικών ανάλογα με την τάξη.
Για παράδειγμα α)η χρυσή τομή (γεωμετρικός και αλγεβρικός ορισμός), β)η έννοια του αρρήτου με τα παραδείγματα της τετραγωνικής ρίζας 2 αλλά και της χρυσής τομής γ)ο ρόλος των αναλογιών στην κατασκευή των μουσικών κλιμάκων.
Φιλοδοξία μας είναι οι διδακτικές αυτές προτάσεις να παρουσιάζονται από τη χρονιά 2009-2010 ως ένα αυτοτελές τμήμα του προγράμματος «Τέχνη και Μαθηματικά».

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Η Γενιά της Ταυτότητας

Η Γενιά της ΤαυτότηταςEίμαστε η γενιά της ταυτότητας. Είμαστε η γενιά που μας σκοτώνουν γιατί κοιτάξαμε το λάθος πρόσωπο. Γιατί αρνηθήκαμε σε κάποιον ένα τσιγάρο ή γιατί είχαμε μια συμπεριφόρα που ενόχλησε κάποιον. Είμαστε η γενιά της εθνικής διασπασής της συνολικής αποτυχίας της συνύπαρξης, και της αναγκαστικής ανάμιξης των φυλών. Είμαστε η γενιά που τιμωρείτε διπλά. Καταδικασμένη να πληρώσει σε ένα κοινωνικο σύστημα που είναι τόσο γενναιόδορο με τους ξένους και που έγινε τόσο δυσβάσταχτο για το δικό μας λαό. Η γενιά μας είναι τα θύματα της γενιάς του Πολυτεχνείου που διοίκησε, μετατρέποντας τις σοσιαλιστικές της ιδέες σε τραπεζικούς λογαριασμούς ξεπουλώντας τον λαό και την πατρίδα. Απορρίπτουμε τα βιβλία της ιστορίας σας, για να ανακτήσουμε τις δικές μας αναμνήσεις μέσα απο τις ηρωικές πράξεις των προγώνων μας που διαγράφετε για να προβάλετε "ολοκαυτώματα" ξένων λαών. Δέν πιστεύουμε πλέον οτι ο Yusuf (αραβικό όνομα) είναι αδελφός μας. Έχουμε σταματήσει να πιστεύουμε σε ένα "Παγκόσμιο χωριό" και στην "Οικογένεια του ανθρώπου" Ανακαλύψαμε ότι έχουμε ρίζες, καταγωγή και ως εκ τούτου έχουμε ένα μέλλον. Η κληρονομιά μας είναι η γή μας, το αίμα μας, η ταυτότητα μας. Είμαστε οι κληρονόμοι του δικού μας μέλλοντος. Κλείσαμε τις τηλεόρασεις για να επιλέξουμε τι να δούμε και τι να διαβάσουμε, για να βγούμε στους δρόμους, να ζωγραφίσουμε τα συνθήματα μας στους τοίχους, να φωνάξουμε απο τα μεγάφωνα εναντίον της διευθαρμένης εξουσίας. Να σηκώσουμε τις σημαίες μας με το Λάμδα ψηλά. Το Λάμδα , που ήταν ζωγραφισμένο στις ασπίδες των περήφανων Σπαρτιατών προγόνων μας! Είναι το συμβολό μας. Δεν υποχωρούμε και δεν ενδίδουμε, κουραστήκαμε και βαρεθήκαμε απο την δειλία σας. Είστε απο τα χρόνια της μεταπολιτευτικής ευημερίας,της μίζας και της κομματοκρατίας, του SOS "Ρατσισμός" και της "ποικιλομορφίας" της σεξουαλικής απελευθέρωσης και της μιας σακούλας πλαστικά τρόφιμα απο τα Lidl. Eίμαστε η γένια με πάνω απο 50% ανεργία κοινωνικό χρέος , πολυπολιτισμική κατάρρευση και μια έκρηξη του αντιλευκού ρατσισμού. Είμαστε η γενιά με διαλυμένες οικογένειες, αυτοκτονίες και χρέη στο "κοινωνικό" σας κράτος και στίς τράπεζες της δημοκρατίας σας Δέν θα μάς εξαγοράσετε με ένα συγκαταβατικό πολιτικάντικο βλέμμα, με μια αμειβόμενη απο το κράτος εργασία της μιζέριας και ένα ελαφρύ κτύπημα στον ώμο. Δέν χρειαζόμαστε την δική σας πολιτική για την Ελλάδα.Η Ελλάδα είναι η πολιτική μας. Είμαστε απο το χτές, είμαστε απο το αύριο...Είμαστε η Γενιά της Ταυτότητας. Κείμενο απο την Γαλλική Γενιά της Ταυτότητας, προσαρμοσμένο με παρεμβάσεις στα Ελληνικά δεδομένα, απο μπλόγκ "απόρρητο" Όσους μπλόγκερ εμπνέει ας το ανεβάσουν.
http://wwwaporrito.blogspot.gr/

ΚΙΚΕΡΩΝ

Ένα έθνος μπορεί να επιζήσει από τους ανόητους και ακόμα και τους φιλόδοξούς του. Αλλά δεν μπορεί να επιζήσει από την προδοσία στο εσωτερικό του.Ένας εχθρός προ των πυλών είναι λιγότερο τρομερός γιατί είναι γνωστός και κρατά την σημαία του υψωμένη. Αλλά οι προδότες που κινούνται μεταξύ των εγκλείστων ελεύθερα, οι δικοί τους ύπουλοι ψίθυροι που σιγοψιθυρίζονται μέσα σ’όλες τις αυλές, ακούονται μέχρι τις αίθουσες της κυβέρνησης της ίδιας... γιατί ο προδότης δεν φαίνεται καθόλου ως προδότης: Μιλά με εκφράσεις γνωστές στα θύματά του, και φορά τα πρόσωπά τους και τα ενδύματά τους, απευθύνεται στη μικροψυχία που βρίσκεται βαθιά στις ψυχές όλων των ανθρώπων. Σαπίζει τη ψυχή ενός έθνους, εργάζεται κρυφά και άγνωστος στη νύχτα για να υπονομεύσει τους στυλοβάτες της πόλης μολύνει το πολιτικό σώμα έτσι ώστε να μην μπορεί πλέον να αντισταθεί. Ο δολοφόνος πρέπει να είναι λιγώτερο τρομακτικός

Τὸ καθῆκον μας : Περικλής Γιαννόπουλος , επίκαιρος όσο ποτέ

«Δὲν θὰ κρίνετε Σεῖς οἱ Φράγκοι -τὰ χθεσινὰ Ἀγριογούρουνα- Ἐμᾶς, ἀλλ᾿ Ἐμεῖς θὰ κρίνωμε Σᾶς καὶ τὸν Πολιτισμόν σας.»
Ἡμεῖς οἱ Ἰδεολόγοι εἴμεθα οἱ πνευματικοὶ πατέρες τοῦ λαοῦ. Ἡμεῖς εἴμεθα οἱ πραγματικοὶ ποιμένες αὐτοῦ. Ἡμεῖς κρατοῦμεν εἰς τὰ χέρια μας, τὴν ψυχήν του, τὴν καρδιά του, τὸ πνεῦμά του. Ἡμεῖς ἂν θέλωμεν τὸν διαφθείρομεν ἔως τὸ κόκκαλον. Ἡμεῖς ἐὰν θέλωμεν τὸν ναρώνομεν, τὸν ἀρρωσταίνομεν, τὸν πεθαίνομεν, τοῦ κόπτομεν κάθε καλόν, κάθε χαράν. Ἡμεῖς ἂν θέλωμεν τὸν βοηθοῦμεν ν᾿ ἀνθίσῃ περίφημα, νὰ εἶνε παραδειγματικός, θαυμάσιος. Οὔτε ὁ Δηλιγιάννης, οὔτε ὁ Τρικούπης, οὔτε κανεὶς ἄλλος πταίει, δι᾿ ὅ,τι ἔγινε, δι᾿ ὅ,τι γίνεται. Πταίουν μόνον, κυρίως, πρῶτοι, οἱ ἄνθρωποι τοῦ πνεύματος, καὶ ἡμᾶς βαρύνει ὁλόκληρος ἡ εὐθύνη της σήμερον, ἡ φοβερὰ εὐθύνη τῆς αὔριον ὁλόκληρος.

"Είς οιωνός άριστος αμύνεσθαι περί πάτρης".-Όμηρος

8 - Φεβρουαρίου 2005

"Αναλαμβάνετε, κύριε Πρόεδρε, την Προεδρία της Ελληνικής Δημοκρατίας για μία πενταετία όπου θα σημειωθούν σημαντικά γεγονότα και εξελίξεις: Η Ευρωπαϊκή ενοποίηση θα προωθηθεί με την ψήφιση ενδεχομένως και της Συνταγματικής Συνθήκης, τα εθνικά σύνορα και ένα μέρος της εθνικής κυριαρχίας θα περιορισθούν χάριν της ειρήνης, της ευημερίας και της ασφάλειας στη διευρυμένη Ευρώπη, τα δικαιώματα του ανθρώπου και του πολίτη θα υποστούν μεταβολές καθώς θα μπορούν να προστατεύονται, αλλά και να παραβιάζονται από αρχές και εξουσίες πέραν των γνωστών και καθιερωμένων και πάντως η Δημοκρατία θα συναντήσει προκλήσεις και θα δοκιμασθεί από ενδεχόμενες νέες μορφές διακυβέρνησης"

Ψαρούδα-Μπενάκη πρός Κάρολο... Παπούλια.

Η Αποκρυπτογράφηση της δήλωσης